Cálculo

Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de la variación y del movimiento. Permite observar y describir la realidad en términos dinámicos y se emplea en diversos campos tales como la física, la ingeniería, la economía o la estadística.

RECOMENDACIONES AL MAESTRO DEL CURSO:

  • El material marcado con * es opcional. El resto del material es obligatorio.
  • Se espera un alto nivel de rigor desde el principio. Ejemplo: el libro [Sp]. Contraejemplo: el libro [Si] (aunque contiene cierto material complementario bonito).

A continuación se detalla el temario de los cursos de cálculo 1 y 2 pensados como una unidad de un año de duración.

Existe cierta flexibilidad en el orden en que se presenta el material; por ejemplo, sucesiones (e incluso series) se puede ver antes de continuidad.

Existe, también, flexibilidad en la división entre Cálculo 1 y 2, sin embargo vale la pena mencionar que algunos temas son prerrequisitos de otros cursos del segundo semestre (e.g. series se usa en Elementos de Probabilidad y Estadística).


TEMARIO DE CALCULO 1:


PRECÁLCULO

  • Un poco de lógica matemática: implicación, negación, cuantificadores; ejemplificar su uso al repasar los siguientes conceptos de geometría elemental: semejanza de triángulos, teorema del ángulo central, trigonometría.
  • Conjuntos: intersección, unión, complemento.
  • Funciones: definición, inyectiva, sobre y biyectiva, composición; cardinalidad y conjunto numerable. Probar que |Q|=|N| y que |R|>|N|.
  • Prueba de Cantor de la existencia de números trascendentes.
  • Inducción matemática.


NÚMEROS REALES

  • Los reales: N, Z, Q, axiomas de los reales, axioma del supremo. Valor absoluto, intervalos.
  • El plano: R2. La ecuación de una recta, distancia.
  • Funciones reales: definición y ejemplos. Sumas, productos y composición de fuciones. Polinomios, funciones racionales, algebraicas, otras. sin y cos. Gráficas. Cónicas y sus gráficas.

LIMITES Y CONTINUIDAD

  • Interpretación geométrica del significado de derivada. Ejemplos.
  • Límites: Definición. Ejemplos. Unicidad. Aritmética de límites. Más ejemplos. Límites de funciones racionales en + y - infinito. El limx->0sin x/x.
  • Continuidad: Definición. Ejemplos. Aritmética de funciones continuas. Composición. ``Toda función continua sobre un intervalo cerrado es acotada''. ``Toda función continua sobre un intervalo cerrado alcanza su max y min''. Teorema del valor intermedio. Teorema del punto fijo en [0,1]. Otras aplicaciones.

DERIVADAS

  • Diferenciación: Definición de derivada. Recta tangente. Derivadas. Teoremas sobre suma, producto y cociente de derivadas. Ejemplos.
  • Regla de la cadena.
  • Máximos y mínimos: Puntos críticos. Max y min local. Concavidad y puntos de inflexión.
  • Teorema del Valor Medio, Regla de L'Hopital.
  • Teorema de Liouville (ejemplos de números no algebraicos).
  • Aplicaciones: Diferenciación implícita, problemas de máximos y m\'inimos, aplicaciones de regla de la cadena (problemas tipo: ``Una bola de naftalina se evapora a una razón proporcional a su superficie. Muestra que su radio decrece a razón constante'', etc).
  • Gráficas de funciones identificando dominio, max y min, puntos silla, puntos de inflexión, concavidad, intervalos donde crece o decrece, comportamiento al infinito, comportamiento cerca del complemento de su dominio, etc. Introducir la función exponencial (e.g. como función derivable en 0 y que es homomorfismo de (R , +) en (R+ , . ).
  • Funciones inversas: Teoremas de existencia para funciones continuas y diferenciables. Derivada de la inversa. Ejemplos, en particular log, funciones trigonométricas inversas, etc.

SUCESIONES Y SERIES

  • Sucesiones: Convergencia, la definicion de continuidad en terminos de sucesiones, aritmética de sucesiones, ``sucesión monótona y acotada converge'', ejemplos.
  • Series: Convergencia, series geométricas, criterios de convergencia; suma de an converge implica an->0; Comparación, razón y raíz. La serie armónica, p-series, ejemplos; series alternantes.
  • *Definición de e como serie (suma de 1/n!); *demo que e es irracional.
  • *Completez de R: Sucesiones de cauchy, axioma del supremo, propiedad arquimediana, Bolzano-Weierstrass.

 

TEMARIO DE CALCULO 2:


INTEGRAL DE RIEMANN

  • *Motivacion [Si, apendice A.2 - A.4]: cálculo de áreas por exhaución; teoremas de Arquímedes e Hipócrates, teorema de Fermat, calculando área bajo la curva xr (r racional).
  • Integral de Riemann: definición de función integrable e integral, ejemplos, ``funcion continua ==> integrable", aritmética de las funciones integrales, desigualdad de Cauchy-Schwartz.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

  • El teorema fundamental del cálculo: primer y segundo teoremas fundamentales del cálculo, primeras aplicaciones al cálculo de integrales, derivada de funciones tipo f(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}{u(t)dt}.
  • Funciones trigonométricas: definición de pi (= área del disco unidad), definción formal de sin(x) y cos(x), otras funciones trigonométricas y sus inversas, caracterización de sin(x) y cos(x) como soluciones de y''+y=0.
  • * demo que pi es irracional, fórmula de Vieta.
  • Prueba de la integral para series.
  • El logaritmo y la exponencial: definición formal de log(x) como integral de 1 hasta x de dt/t, propiedades de log(x), gráfica, definición de exp como la inversa de log, definición de e, a^x para a>0 y x real, leyes de los exponentes, derivada de a^x, gráficas, caracterización de e^x via y' =y, algunos límites importantes (e.g. (1+1/x)^x cuando x va al infinito), e^{-1/x^2}, cosh y sinh.

METODOS DE INTEGRACION Y APLICACIONES

  • Aplicaciones: problemas de crecimiento de población, ley de enfriamiento de Newton, radioactividad.
  • Métodos de integración: por partes, cambio de variable, trigonométricas (*aplicación: producto de Wallis), racionales (fracciones parciales), sustitución trigonométrica, completando cuadrado, muchos ejemplos, función Gama.
  • *Funciones que no pueden integrarse por métodos elementales: teoremas (sin demostración) de Liouville y Chebyshev.
  • *(Esto posiblemente va en el curso de cómputo) Integración numérica: método del trapecio y de Simpson, estimación del error en teérminos de |f(2)| y |f(4)|. resp. Cálculos usando Mathematica.
  • Aplicaciones de la integral: área entre curvas, longitud de gráficas.
  • Mas Aplicaciones de la integral (se pospone las pruebas a Cálculo 3 y 4): volumen y área de un sólido de revolución, volúmenes via integración de área de secciones transversales (e.g. volumen de elipsoide, tetraedro, etc).

TEOREMA DE TAYLOR

  • Teorema de Taylor: aproximación mediante polinomios, polinomio de Taylor, Teorema de Taylor, aplicaciones tipo ``calcular la raiz cuadrada de e con un error menor a 0.001", y ``calcular la integral entre 0 y 1 de e^{-x^2}dx con error menor que 0.0001, etc., polinomio de taylor de exp, log, sin, cos, arctan, etc. Binomio de Newton de (1+x)^a para a real.
  • *demo que e no es algebraico.
  • Convergencia uniforme y series de potencias: convergencia uniforme vs puntual, convergencia uniforme e integración, convergencia uniforme y continuidad, convergencia uniforme y diferenciación, series de funciones, Weierstrass M-test, ejemplo de función continua que no es diferenciable en ningún sitio, series de potencias, convergencia, integración y diferenciación de series de potencias, serie de Taylor, unicidad, suma, producto, cociente y composición de series de potencias (*demostraciones correspondientes a los teoremas anteriores).

SUGERENCIA: No se espera que el profesor cubra con profundidad los temas de series y sucesiones de funciones, solo lo necesario para aplicarlo a series de potencias, ver e.g. Spivak);

*concepto de función analítica, *ejemplo de e^{-1/x^2}.


BIBLIOGRAFIA:

[Sp],M. Spivak, "Calculus"

[Si], G. F. Simmons, "Calculus with Analytic Geometry", McGraw-Hill, 1976.

Centro de investigación en Matemática A.C, CIMAT






Comentarios

Entradas más populares de este blog

Álgebra

Trucos Matemáticos

Trigonometría